韓国語で、함께と같이は両方とも、”共に”(together)という意味です。

함께と같이はほぼ同じニュアンスで、大抵の場合、逆の言葉に置き換えても意味が通じます。例えば、下記の2つは両方とも使うことができます。

같이 여행을 가다
一緒に旅行に行く

함께 여행을 가다
一緒に旅行に行く

ですが、”…와 함께”と使われる場合、これを”…와 같이”とは言い換えできません。

같이が持つニュアンス

같이は、もともと같다(同じ)という意味の動詞が由来で、これが形容詞になったものです。”같”の後に、接尾語”이”がくっ付いて같이という言葉になっています。
例えば、”이 자료를 다음과 같이 하세요”は、”この資料を同じようにしておいて”という意味で、これは”新しく渡された資料を、見本として渡されたものと同様の状態にしてほしい”という意味で使っています。
この文章の”다음과 같이”を、”다음과 함께”とは言い換えできません。