日本語で言う”覚める,起きる”という単語には様々なニュアンスでの使われ方があります。一方、韓国語ではその文脈によって、깨어나다、깨다、깨치다、깨닫다など様々な単語での使い分けが存在します。
まずは、それぞれの単語の意味を確認してみます。

깨다

壊す、覚ます。
"꿈을 깨다"だと、夢から覚めるという意味なります。
これは夢の中にいる状態を壊して、現実に戻ってくるイメージです。

깨어나다

覚ます。
寝ていたりお酒をのんで意識をなくした状態から、意識が戻ってくるようなイメージです。

깨닫다

悟る、目覚める。
分からなかったことが分かるようになり、目覚めるイメージ

깨치다

目覚める、悟る、習得する、会得する
今までできなかったことをマスターしたり、悟りを開くようなイメージ

例文

つぎに、先ほどの意味を踏まえながら、例文を見ながら違いを確認します。

꿈을 깨다
夢から覚める
(直訳すると、「夢"を"壊す」なので、"을"になることに注意)

꿈에서 깨어나다
夢から覚める
(こちらは「夢の中"から"現実に帰ってくる」イメージなので"에서"になることに注意)

현실을 깨닫다
現実に目覚める

진리를 깨치다
真理に目覚める（真理を悟る)

いかかでしょうか?これで”覚める”の使い分けがイメージできたでしょうか?